Metody definiowania
miejsc geometrycznych punktów

Włodzimierz Gajda

Artykuł ten został wygłoszony w formie referatu podczas XVI konferencji Informatyka w Szkole w 1998 roku.

Wstęp

Wykorzystanie komputera do wizualizacji rozwiązań zadań matematycznych zwiększa możliwości aktywnego prowadzenia zajęć. Uczniowie dostają do rąk narzędzia, dzięki którym mogą samodzielnie badać i odkrywać skomplikowane pojęcia. Programy takie jak Cabri, Geomlandia czy C.a.R służące do tworzenia dynamicznych konstrukcji geometrycznych pozwalają uczniowi samodzielnie formułować i weryfikować własności figur na płaszczyźnie. Zalety wykorzystania komputera stają się szczególnie widoczne na lekcjach dotyczących miejsc geometrycznych punktów. Korzystając z komputera jako pomocy dydaktycznej możemy kreślić krzywe, których wyznaczenie przy pomocy tradycyjnych środków sprawiłoby duże trudności. W artykule przedstawimy metodę definiowania miejsc geometrycznych punktów. Dyskusję rozpoczniemy od rozwiązania kilku przykładowych zadań. Następnie podamy ogólne zasady tworzenia złożonych konstrukcji wyznaczających miejsca geometryczne punktów. Dobrym wprowadzeniem prezentującym możliwości oprogramowania geometrii dynamicznej jest praca [6]. Tematyce miejsc geometrycznych punktów poświęcony jest rozdział IV ze zbioru zadań [3]. W pracy [7] przedstawiono metody szukania obrazów figur geometrycznych poddanych przekształceniom zarówno izometrycznym jak i nieizometrycznym, zaś pozycja [8] stanowi źródło dużej liczby klasycznych krzywych opisanych konstrukcyjnie. Wszystkie przykładowe konstrukcje i wykresy opracowano z wykorzystaniem programu C.a.R. Program C.a.R jest bezpłatny i można go znaleźć pod adresami [1] oraz [2]. Szczegółowy opis możliwości programu przedstawiono w pracy [4].

Przykładowe zadania

Wykresy do zadań 1-8 zawierają wszystkie elementy występujące w treści zadań, natomiast rozwiązanie zadania 9, ze względu na stopień złożenia konstrukcji, prezentuje wynik końcowy — szukaną krzywą. Dzięki wykorzystaniu takich cech programu C.a.R jak ukrywanie zbędnych elementów konstrukcji, zmiana grubości i koloru linii oraz ustalenie widocznych na ekranie kolorów konstrukcje tworzone na komputerze są bardzo przejrzyste.

Zadanie 1

Niech dane będą dwa dowolne punkty A i C oraz dowolna prosta p, na której leży punkt B. Niech punkt M będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Wyznaczyć krzywą opisaną przez punkt M podczas ruchu punktu B po prostej p.

Ilustracja do zadania pierwszego.

Zadanie 2

Niech dany będzie dowolny okrąg O oraz dowolna prosta l. Niech punkt P będzie punktem okręgu O, P' jego rzutem prostopadłym na prostą l zaś M środkiem odcinka PP'. Znaleźć krzywą, którą opisze punkt M podczas ruchu punktu P po okręgu O.

Ilustracja do zadania drugiego.

Zadanie 3

Niech dany będzie dowolny okrąg O, dowolna prosta l oraz dowolny punkt R. Niech punkt P będzie punktem okręgu O, P' jego rzutem prostopadłym na prostą l zaś S — środkiem odcinka PP'. Znaleźć krzywą, którą opisze punkt Gergonne'a M wyznaczony w trójkącie PSR podczas ruchu punktu P po okręgu O.

Ilustracja do zadania trzeciego.

Zadanie 4

Niech dany będą dowolnie okrąg O, punkt R i prosta l. Niech punkt P porusza się po okręgu O, zaś P' niech będzie rzutem prostopadłym punktu P na prostą l. Prosta przechodząca przez punkty P i R przecina okrąg O w punkcie P''. Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów M dzielących odcinek PP' w takim stosunku, w jakim punkt R dzieli odcinek PP''.

Ilustracja do zadania czwartego.

Zadanie 5

Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów opisanych przez punkt Nagela M w trójkącie, którego jeden z wierzchołków porusza się po elipsie.

Ilustracja do zadania piątego.

Zadanie 6

Wykreślić krzywą opisaną przez punkt przecięcia przekątnych M w czworokącie QRSS', którego wierzchołki S oraz S' poruszają się z identyczną prędkością w przeciwnych kierunkach po paraboli. Punkty S i S' spotykają się w wierzchołku paraboli. Punkty Q i R są dowolne.

Ilustracja do zadania szóstego.

Zadanie 7

Niech dany będzie trójkąt ABC, którego wierzchołki A i B leżą na okręgu. Niech odległość punktów AB będzie stała. Wyznaczmy ortocentrum M dla trójkąta ABC. Czym jest miejsce geometryczne punktów M, jeśli punkty A i B poruszaja się po okręgu?

Ilustracja do zadania siódmego.

Zadanie 8

Wykreślić krzywą opisaną przez środek okręgu wpisanego M w trójkąt ABC, którego trzy wierzchołki poruszają się z identyczną prędkością po okręgu. Punkty A i C poruszają się w tym samym kierunku, zaś punkt B — w przeciwnym.

Ilustracja do zadania ósmego.

Zadanie 9

Niech dany będzie dowolny trójkąt ABC oraz niech O będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Niech punkt P będzie punktem leżącym na okręgu wpisanym w trójkąt ABC, zaś X, Y i Z — rzutami punktu P na proste zawierające boki trójkąta ABC. Punkty O' i O'' są środkami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt XYZ odpowiednio. Wyznaczmy M jako punkt Nagela dla trójkąta OO'O''. Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów M podczas ruchu punktu P po okręgu wpisanym w trójkąt ABC.

Ilustracja do zadania dziewiątego.

Opis metody

Przedstawione krzywe można scharakteryzować kilkoma cechami. Po pierwsze każda krzywa jest opisana przez punkt M wyznaczony jednoznacznie w zależności od pewnych punktów występujących w konstrukcji. Funkcja określająca punkt M może być dwuargumentowa jak w zadaniu 2 (środek odcinka) trójargumentowa jak w zadaniach 1, 3, 5, 7, 8, 9 (środek okręgu wpisanego w trójkąt, punkt Nagela, punkt Gergonne'a, ortocentrum) czy czteroargumentowa jak w zadaniach 3, 6 (podział odcinka w stosunku wyznaczonym przez dodatkowe elementy konstrukcji, punkt przecięcia przekątnych w czworokącie). Ponieważ zawsze możemy do konstrukcji dołożyć dowolną liczbę punktów stałych, więc mamy możliwość zmiany funkcji definiującej punkt M z dwuargumentowej na trójargumentową (czy ogólniej z n argumentowej na n+k argumentową). W ten sposób modyfikując zadanie 2 otrzymaliśmy konstrukcje z zadania 3 oraz 4. Funkcje określające punkt M możemy składać: skonstruowawszy elipsę, pytamy o punkt Nagela w trójkącie, którego wierzchołek porusza się po elipsie (zadanie 5), konstrukcja paraboli pozwoliła na określenie czworokąta z zadania 6. Konstrukcja z zadania 9 prezentuje kilkukrotne składanie przekształceń. Przy ustalonej funkcji definiującej punkt M możemy modyfikować zachowanie się punktów będących jej argumentami: punkty mogą być stałe lub ruchome punkty mogą się poruszać po różnych krzywych możemy zmieniać metodę synchronizacji ruchu kilku punktów W zadaniu 2 mamy dwa punkty ruchome: jeden z nich porusza się po prostej, a drugi po okręgu. W zadaniu 6 mamy dwa punkty ruchome i dwa stałe zaś w zadaniu 8 — trzy punkty ruchome. Z podanych przykładów widać, że liczba punktów ruchomych jest ograniczona jedynie od dołu: co najmniej jeden punkt musi się poruszać. Drugą cechą jest dobór krzywych po jakich poruszają się punkty. W przedstawionych zadaniach punkty poruszają się po prostej (zadania 1, 2, 3, 4), okręgu (zadania 2, 3, 4, 7, 8, 9) elipsie (zadanie 5), paraboli (zadanie 6) czy wreszcie po krzywych nie mających nazw zwyczajowych (zadanie 9).

Na zakończenie zauważmy, że określiwszy funkcję wyznaczającą punkt M oraz jej argumenty (zdecydowaliśmy, które z nich są ruchome, a które stałe oraz wyznaczyliśmy krzywe, po których mają się poruszać) możemy jeszcze modyfikować synchronizacje ruchu punktów. Dla przykładu punkty A i B z zadania 7 poruszają się w zgodnym kierunku, zaś punkty S oraz S' z zadania 6 — w kierunkach przeciwnych. Czytelnikowi pozostawiamy wykonanie konstrukcji, w których punkty poruszają się z różnymi prędkościami.

Bibliografia

  1. http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/grothmann.html
  2. http://www.gajdaw.pl
  3. Bachwałow S. W., Modenow P. S., Parchomienko A. S.: Zbiór zadań z geometrii analitycznej, PWN, Warszawa, 1961, s.54.
  4. Gajda, W.: Cyrkle i linijka, Komputer w Szkole, nr 1, 1998.
  5. Pabich, B.: Odkrywanie geometrii przy użyciu CABRI, Vulcan, Wrocław, 1994.
  6. Pająk W.: CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, Vulcan, Wrocław, 1994.
  7. Nieczyporowicz E.: Krzywe płaskie, PWN, Warszawa, 1995.